soal komposisi fungsi dan invers fungsi

Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

$1$. Fungsi $g:R\to R$ ditentukan oleh $g\left(x\right)=x^2-3x+1$ dan fungsi $f:R\to R$ sehingga $(f\circ g)\left(x\right)=2x^2-6x-1$. Maka $f\left(x\right)=$ . . . .
  $A.2x+3$
  $B.2x+2$
  $C.2x-1$
  $D.2x-2$
  $E.2x-3$

$g\left(x\right)=x^2-3x+1$
$(f\circ g)\left(x\right)=2x^2-6x-1$
$f\left(g\right(x\left)\right)=2x^2-6x-1$
$f(x^2-3x+1)=2(x^2-3x+1)-3$
jika kita misalkan $x^2-3x+1=a$
maka $f\left(a\right)=2a-3$
kemudian ganti $ajadix$, maka $f\left(x\right)=2x-3$
jawab: E.

$2$. Diketahui fungsi kuadrat $f\left(x\right)=-2x^2+8x+3$ dengan daerah asal $\{x|-1\le x\le 4,x\in R\}$ daerah hasil fungsi adalah . . . .
  $A.\{y|-7\le y\le 11,y\in R\}$
  $B.\{y|-7\le y\le 3,y\in R\}$
  $C.\{y|-7\le y\le 19,y\in R\}$
  $D.\{y|3\le y\le 11,y\in R\}$
  $E.\{y|3\le y\le 19,y\in R\}$

$f\left(x\right)=-2x^2+8x+3$

Ini merupakan fungsi kuadrat yang terbuka kebawah. Berarti memiliki nilai maksimum.
Sumbu simetri:
$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{2.(-2)}=2$
Nilai maksimum jika $x=2$. Perhatikan bahwa titik $x=2$ berada diantara selang $-1\le x\le 4$
$Nilaimaaksimum=f\left(2\right)$
$=-{2.2}^2+8.2+3$
$=11$
$f(-1)=-2.(-1{)}^2+8.(-1)+3=-7$
$f\left(4\right)=-2.(4{)}^2+8.(4)+3=3$
Telihat bahwa range atau daerah hasil berada pada selang $-7\le y\le 11$.
Jadi, $range=\{y|-7\le y\le 11\}$
jawab: A.

$3$. Fungsi $f$ ditentukan oleh $f\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x+1}$, $x\ne -\frac{1}{2}$. Jika $f^{-1}$adalah invers dari $f$, maka $f^{-1}(x+2)=$. . . .
  $A.\frac{-x+4}{2x-3},x\ne \frac{3}{2}$
  $B.\frac{-x+2}{2x+1},x\ne -\frac{1}{2}$
  $C.\frac{-x+6}{2x+1},x\ne -\frac{1}{2}$
  $D.\frac{-x+2}{2x-3},x\ne \frac{3}{2}$
  $E.\frac{-5x+10}{2x-3},x\ne \frac{3}{2}$

$f\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x+1}$
Kita tulis menjadi $y=\frac{3x+4}{2x+1}$
$(2x+1)y=3x+4$
$2xy+y=3x+4$
$2xy-3x=4-y$
$x(2y-3)=4-y$
$x=\frac{4-y}{2y-3}$
ganti $y$ jadi $x$ dan $x$ jadi $f^{-1}\left(x\right)$
$f^{-1}\left(x\right)=\frac{4-x}{2x-3}$
$f^{-1}(x+2)=\frac{4-(x+2)}{2(x+2)-3}$
$x$ diganti dengan $x+2$
$f^{-1}(x+2)=\frac{4-x-2}{2x+4-3}$
$f^{-1}(x+2)=\frac{2-x}{2x+1}$
jawab: B.

$4$. Diketahui $f\left(x\right)=x-4$. Nilai dari $f\left(x^2\right)-\left(f^2\right(x)+3f(x\left)\right)$ untuk $x=-2$adalah . . . .
  $A.-54$
  $B.-36$
  $C.-18$
  $D.6$ 

$4$. Diketahui $f\left(x\right)=x-4$. Nilai dari $f\left(x^2\right)-\left(f^2\right(x)+3f(x\left)\right)$ untuk $x=-2$adalah . . . .
  $A.-54$
  $B.-36$
  $C.-18$
  $D.6$
  $E.18$

$f\left(x\right)=x-4$. 
$f\left(x^2\right)-\left(f^2\right(x)+3f(x\left)\right)$ $=x^2-4-\left[\right(x-4{)}^2+3.(x-4)]$
$=x^2-4-[x^2-8x+16+3x-12]$
$=x^2-4-x^2+5x-4$
$=5x-8$
jawab: C.

$5$. Fungsi $f:R\to R$ dan $g:R\to R$dinyatakan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $(g\circ f)\left(x\right)=2x^2+4x+1$. Maka $g\left(2x\right)=$ . . . .
  $A.2x^2+4x+1$
  $B.2x^2-12x+1$
  $C.8x^2-8x+1$
  $D.8x^2+8x+1$
  $E.4x^2-8x+1$

$f\left(x\right)=x+2$ dan $(g\circ f)\left(x\right)=2x^2+4x+1$.
$g(x+2)=2x^2+4x+1$.
$g(x+2)=2(x+2{)}^2-4x-7$.
$g(x+2)=2(x+2{)}^2-4(x+2)+1$.
jika $x+2$ kita misalkan jadi $a$, maka:
$g\left(a\right)=2a^2-4a+1$.
jika $a$ kita misalkan jadi $2x$, maka:
$g\left(2x\right)=2(2x{)}^2-4.2x+1$
$g\left(2x\right)=8x^2-8x+1$
jawab: C.