KORDINAT KUTUB DAN KORDINAT KARTESIUS

 r

$$) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif. 
Misalkan koordinat cartesius titik A adalah (x,y$$), dan koordinat kutub titik A adalah (r,α$$), hubungan kedua titik adalah : 
                          x=rcosα,$$ dan y=rsinα$$ . 

*). Berikut ilustrasi gambarnya 

♣$\mathrm{}$ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius : 
Langsung gunakan hubungan : x=rcosα,$$dan y=rsinα$$ 
♣$\mathrm{}$ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub : 
(i). Menentukan jari-jari (r$$) dengan pythagoras r2=x2+y2${}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}$ 
(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus : 
sinα=yr$\frac{}{}$ atau cosα=xr,$\frac{}{}$ atau tanα=yx$\frac{}{}$ 
(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan : 
1. x$$ positif dan y$$ positif , ada di kuadran I, 
2. x$$ negatif dan y$$ positif , ada di kuadran II, 
3. x$$ negatif dan y$$ negatif , ada di kuadran III, 
4. x$$ positif dan y$$ negatif , ada di kuadran IV

Contoh : 
1). Nyatakan koordinat kutub titik A(8,30∘$\mathrm{}{\mathrm{}}^{}$) ke dalam koordinat cartesius! 
Penyelesaian : 
*). Diketahui titik A(r,α)=(8,30∘$\mathrm{}{\mathrm{}}^{}$ 
artinya r=8$\mathrm{}$ dan α=30∘${\mathrm{}}^{}$ 
*). Menentukan koordinat cartesiusnya : 
x=rcosα=8cos30∘=8.123‾√=43‾√$\mathrm{}{\mathrm{}}^{}\mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}$
y=rsinα=8sin30∘=8.12=4$\mathrm{}{\mathrm{}}^{}\mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\mathrm{}$ 
Jadi, koordinat cartesiusnya adalah A(43‾√,4)$\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}\mathrm{}$ 

2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub : 
a). titik B(3,33‾√$\mathrm{}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}$) 
b). titik C(−3‾√,1$\sqrt{\mathrm{}}\mathrm{}$) 
Penyelesaian : 
a). titik B(3,33‾√$\mathrm{}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}$) 
artinya x=3,$\mathrm{}$ dan y=33‾√$\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}$ 
*). Menentukan jari-jari (r$$) : 
r=x2+y2‾‾‾‾‾‾‾√=32+(33‾√)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=9+27‾‾‾‾‾‾√=36‾‾‾√=6$\sqrt{{}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}}\sqrt{{\mathrm{}}^{\mathrm{}}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\mathrm{}$
*). Menentukan sudut dengan rumus : cosα=xr$\frac{}{}$ 
cosα=xr→cosα=36→cosα=12→α=60∘$\frac{}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{}$
Karena nilai x$$ positif dan y$$ positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut 60∘${\mathrm{}}^{}$ 
Jadi, koordinat kutubnya adalah B(6,60∘)$\mathrm{}{\mathrm{}}^{}$. 

b). titik C(−3‾√,1$\sqrt{\mathrm{}}\mathrm{}$) 
artinya x=−3‾√,$\sqrt{\mathrm{}}$ dan y=1$\mathrm{}$ 
*). Menentukan jari-jari (r$$) : 
r=x2+y2‾‾‾‾‾‾‾√=(−3‾√)2+(1)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=3+1‾‾‾‾‾√=4‾√=2$\sqrt{{}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}}\sqrt{\sqrt{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\mathrm{}$
*). Menentukan sudut dengan rumus : sinα=yr$\frac{}{}$ 
sinα=yr→sinα=12→α=30∘$\frac{}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{}$ 
Karena nilai x$$ negatif dan y$$ positif, maka titik C ada di kuadran II , 
Sehingga sudutnya : 180∘−30∘=150∘${\mathrm{}}^{}{\mathrm{}}^{}{\mathrm{}}^{}$ 
Jadi, koordinat kutubnya adalah C(2,150∘)$\mathrm{}{\mathrm{}}^{}$ .