Pada dasarnya, limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi ketika hendak mendekati nilai tertentu. Singkatnya, limit ini dianggap sebagai nilai yang menuju suatu batas. Disebut sebagai “batas” karena memang ‘dekat’ tetapi tidak bisa dicapai.
Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a itu sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan riil. Maka fungsi f dapat dikatakan memiliki limit L untuk x mendekati a, sehingga ditulis Namun, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.
Rumus Limit
Dalam ilmu matematika, konsep limit ini ditulis berupa:
Maksudnya, apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a, maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a ini dapat dilihat dari dua sisi, yakni sisi kiri dan sisi kanan. Nah, dengan kata lain bahwa x juga dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga nantinya akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.
Maka dari itu, diperolehlah pernyataan bahwa:
0 <|x-p|<δ⇔|f(x) – L|ε
Maksudnya, suatu fungsi dapat dikatakan memiliki limit apabila antara limit kiri dan limit kanan juga mempunyai besar nilai yang sama. Apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya juga tidak akan ada.
Sifat Fungsi Limit Aljabar
Apabila n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifatnya akan berupa:
Teorema Limit
Limit dalam bahasa umum bermakna batas.
Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu.
Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta.
Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.
Limit 0/0
Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam
ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk sederhanakan fungsi tersebut.
Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi, dan jangan lupa aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :
Contoh
Limit ∞/∞
Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :
Contoh
Rumus cepat limit bentuk ∞/∞
Jika m<n maka L = 0
Jika m=n maka L = a/p
Jika m>n maka L = ∞
Limit (∞-∞)
Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional.
Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh dari penyederhanaan.
Contoh
Jika disubstitusikan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞).
Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi
Rumus Cepat limit tak hingga
Rumus cepat mengerjakan limit tak hingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak hingga pada bentuk pecahan.
Untuk memperoleh nilai limit tak hingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.
Ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi.
Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut.
Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut.
Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut.
Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.
Contoh
Nilai pangkat tertinggi pada pembilang adalah 3. Nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.
Limit Tak Hingga
Fungsi limit tak hingga digunakan untuk menggambarkan keadaan limit x mendekati tak hingga atau dinotasikan dengan lim x → ∞ f(x).
Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan.
Berikut gue jelaskan lebih lanjut mengenai cara-cara tersebut dan juga contoh soal limit fungsi tak hingga dan pembahasannya.
Contoh Soal:
Contoh Soal:
Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu
Metode Substitusi
Perhatikan contoh soal berikut!
Tentukan nilai lim 2x2 + 5x→3
Penyelesaian:
Nah ketika ditanya berapa nilai limit untuk fungsi diatas ?.
Kita menggantikan nilai x = 3 untuk variabel x pada 2x2, nah inilah yang dinamakan substitusi. Sehingga penyelesaian limit di atas secara subsitusi adalah : lim 2x2 + 5 = 2.(3)2 + 5 = 23x→3
Metode Pemfaktoran
Metode ini akan digunakan apabila fungsi-fungsi tersebut dapat difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikan contoh berikut!
Dalam contoh soal tersebut, jika x=3 maka dapat kita substitusikan menjadi f(3) = 3 akar 2 – 9 / 3 -3 = 0/0
Dengan menggunakan metode substitusi akan menghasilkan bentuk tak terdefinisikan (0/0) :
limx→ 1
x2 + 2x – 3x – 1
=
12 + 2(1) – 31 – 1
=
00
Maka harus diselesaikan dengan metode pemfaktoran :
limx→ 1
x2 + 2x – 3x – 1
=
limx→ 1
(x – 1)(x + 3)(x – 1)
⇔
limx→ 1
(x + 3)
⇔ (1 + 3)
⇔ 4
Metode Merasionalkan Penyebut
Pada cara ketiga ini dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!
Contoh:
Metode Merasionalkan Pembilang
Pada cara ini, hampir sama dengan metode sebelumnya, yakni dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!
Induksi Matematika raisya windriya xi ips 3 Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah : 1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1. 2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k. 3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k). Jenis Induksi Matematika (a). Deret Bilangan Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa . Langkah 1 untuk n = 1, maka : 1 =
Determinan dan Invers Matriks raisya windriya xi ips 3 Determinan dan Invers suatu matriks sangat berguna dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan baik menggunakan metode determinan atau metode invers . Metode matriks ini kita pilih karena secara komputasi akan mudah diterapkan, hal ini terjadi karena perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti. Determinan Matriks Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi, sobat bisa baca materi " jenis - jenis matriks " . Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|. Determinan matriks 2 × 2 Misalkan matriks A = ( a c b d ) det(A) = |A| = a × d − b × c Untuk menentukan determinan matriks 3 × 3 dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya Misalkan matriks A = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ a 11
Program Linear raisya windriya xi ips 3 Program Linear Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear. Model Matematika Program Linear Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika. Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 7
Mochammad Risyad Al Varrel XI IPS 1 Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika. Dalam matematika, induksi matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah : 1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1. 2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k. 3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k). Jenis Induksi Matematika (a). Deret Bilangan Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa . Langkah 1 untuk n = 1, maka : 1 = 1...
Turunan fungsi Aljabar Pengertian fungsi aljabar Turunan fungsi atau juga bisa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f' yang mempunyai nilai tidak memakai aturan dan hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang dimasukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi. Lalu untuk pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi. Notasi turunan fungsi aljabar seperti berikut: Seperti yang telah disebutkan di atas, jika turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut: Rumus Turunan Aljabar Setelah memahami tentang pengertian dari turunan fungsi aljabar, hal yang perlu Sobat Pintar pelajari adalah rumus dari turunan fungsi aljabar. Rumus turunan fungsi aljabar ini terbagi menjadi beberapa rumus berikut: Turunan Fungsi Pang...
Namun, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.
Dalam contoh soal tersebut, jika x=3 maka dapat kita substitusikan menjadi f(3) = 3 akar 2 – 9 / 3 -3 = 0/0
Komentar