LUAS SEGI’n BERATURAN JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA,GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR /DALAM LINGKARAN

 

Luas Segi n Beraturan

 

Pada segi n beraturan

Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen

Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal).

 

Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya

Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas.

Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya

Besar sudut A adalah 

Luas segitiga adalah

LΔ = ½ .R.R sin A

Luas segi n beraturan adalah

Ln = n. LΔ

Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

 

Bagaimana jika diketahui sisinya ?

Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a)

Dengan aturan cosinus maka

a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A

a2 = 2R2 — 2R2 cos A

a2 = R2(2 — 2cos A)

Luas segi n :

Jadi luas segi n beraturan yang panjang sisinya a adalah

keterangan : 
θ=$$ sudut pusat =360∘n$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$. 

Contoh soal Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan : 

1). Pada segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan : 
a). Luas, 
b). Keliling. 

Penyelesaian : 
*). Pada soal diketahui r=10$\mathrm{}$. 
Bangun datar segienam artinya n=6$\mathrm{}$. 
a). Luas segienam beraturan: 
Luas Segienam =n2r2sin360∘n=62.102sin360∘6=300sin60∘=300.123‾√=1503‾√$\begin{array}{rl}& \frac{}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}\\ & \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}{\mathrm{}}^{}\\ & \mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}\end{array}$ 
Jadi, luas segienam tersebut adalah 150(√3)cm2.♡$\mathrm{}\sqrt{}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}$. 

b). Keliling segienam beraturan, 
Keliling Segienam =nr2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=6.102−2cos360∘6‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=602−2cos60∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=602−2.12‾‾‾‾‾‾‾‾√=602−1‾‾‾‾‾√=601‾√=60$\begin{array}{rl}& \sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}\end{array}$
Jadi, keliling segienam tersebut adalah 60cm.♡$\mathrm{}\mathrm{}$. 

2). Sebuah bangun datar segi-8 beraturan memiliki keliling 322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}$ cm. Tentukan 
a). Panjang sisi dan jari-jarinya, 
b). Tentukan luas segidelapan tersebut. 

Penyelesaian : 
a). Panjang sisi (x)$$ dan jari-jari (r)$$ : 
*). Panjang sisi, 
Keliling segidelapan 322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√x=8x=8x=322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√8=42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\begin{array}{rl}& \mathrm{}\\ \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}& \mathrm{}\\ & \frac{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}}{\mathrm{}}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}\end{array}$
Sehingga panjang sisinya adalah 42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}$ cm. 
*). Jari-jari (r)$$ : 
Keliling Segidelapan 322−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√42−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√r=nr2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=8.r2−2cos360∘8‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√(bagi 8)=r2−2cos45∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=r2−2.122‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=r2−2‾√‾‾‾‾‾‾‾√=8$\begin{array}{rl}& \sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}\\ \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}& \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}}\\ \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}& \sqrt{\mathrm{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{}}\\ \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}& \sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}}\\ \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}& \sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}\\ & \mathrm{}\end{array}$
Sehingga panjang jari-jarinya r=4$\mathrm{}$. 

b). Luas segidelapan beraturan : 
Luas Segidelapan =n2r2sin360∘n=82.42sin360∘8=64sin45∘=64.122‾√=322‾√$\begin{array}{rl}& \frac{}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}\\ & \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}{\mathrm{}}^{}\\ & \mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}\end{array}$ 
Jadi, luas segidelapan tersebut adalah 32(√2)cm2.♡$\mathrm{}\sqrt{}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}$. 

3). Luas bangun datar segi-12 beraturan adalah 27 cm2${}^{\mathrm{}}$. Tentukan : 
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi, 
b). Keliling segi-12 tersebut. 

Penyelesaian : 
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi, 
*). Panjang jari-jari : 
Luas Segi-12 27272727r=n2r2sin360∘n=122.r2sin360∘12=6r2sin30∘=6r2.12=3r2=3$\begin{array}{rl}& \frac{}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}\\ \mathrm{}& \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}\\ \mathrm{}& \mathrm{}{}^{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{}\\ \mathrm{}& \mathrm{}{}^{\mathrm{}}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\\ \mathrm{}& \mathrm{}{}^{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}\end{array}$ 
Sehingga r=3$\mathrm{}$ cm. 
*). Panjang sisi (x)$$ segi-12 : 
x=r2−2cos360∘n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−2cos360∘12‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−2cos30∘‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−2.123‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=32−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\begin{array}{rl}& \sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}}\\ & \mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}\end{array}$ 
Sehingga panjang sisi x=32−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}$ 

b). Keliling segi-12 tersebut. 

Keliling =n.x=12.32−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√=362−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√$\mathrm{}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}$ 
Jadi, keliling segi-12 adalah 362−3‾√‾‾‾‾‾‾‾√cm.♡$\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}\mathrm{}$. 

4). Sebuah bangun datar segienam beraturan memeiliki jari-jari r$$ cm, tentukan : 
a). Luas, 
b). Keliling. 

Penyelesaian : 
*). Pada soal diketahui jari-jari =r$$. 
Bangun datar segienam artinya n=6$\mathrm{}$. 
a). Luas segienam beraturan: 
Luas Segienam =n2r2sin360∘n=62.r2sin360∘6=3r2sin60∘=3r2.123‾√=32r23‾√$\begin{array}{rl}& \frac{}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{}\\ & \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}\\ & \mathrm{}{}^{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{}\\ & \mathrm{}{}^{\mathrm{}}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\\ & \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}\end{array}$ 
Jadi, luas segienam tersebut adalah 32r23‾√cm2.♡$\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\sqrt{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}$.